Софизмы и парадоксы в математике

В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками.

И. Ньютон

В математике есть задачи, которые не похожи на другие, они как будто бы правильные, но в то же время неправильные.  Наверняка  каждый человек хоть раз в жизни сталкивался с обоснованным (только на первый взгляд!) доказательством того, что  «дважды два будет пять» или «7=8».  И таких примеров можно привести много, но что все они обозначают? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь шутка? Эти вопросы заинтересовали ученицу 8г класса Козаченко Полину, и она попыталась выяснить, почему в математике – строгой и точной науке – есть подобного рода казусы.

Оказывается, такие  ошибочные рассуждения - это  примеры софизмов. Софизм – это ложное высказывание, кажущееся правильным, но содержащее скрытую ошибку. Для изучающих математику они полезны тем, что развивают логическое мышление, наблюдательность и вдумчивость, приучают тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей.

Данная тема проекта актуальна, так как в  нашей жизни, к сожалению, часто можно столкнуться с обманом, мошенничеством.  И очень важно научиться отличать ложь от истины и уметь противостоять манипуляциям со стороны других.

Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил.

Идея софизмов зародилась еще во времена Древней Греции. Софисты были глубоко образованными людьми, они стремились научить учеников владеть искусством словесных состязаний. Мудрецов специально обучали тому, чтобы доказывать какое-либо мнение с помощью ложных, но очень правдоподобных аргументов.

Докажем, что «дважды два – пять». Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или 2 • 2=5

(Ошибка допущена в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки).

К софизмам близки парадоксы. Это высказывания, которые одновременно могут быть доказаны и как истинные, и как ложные.

Всем известно, что когда Буратино говорит неправду, у него растет нос. Что же будет, если он скажет: «Сейчас у меня вырастит нос»? Если нос не увеличится — значит, Буратино соврал, и нос будет обязан тут же вырасти. А если нос вырастет — значит, он сказал правду, и нос расти не должен? Это один из вариантов  парадокса лжеца.

Разнообразных, простых и замысловатых софизмов и парадоксов в математике огромное множество.  Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Разбор софизмов увлекателен – это изящная гимнастика для ума.

Соловьева Н.А.,

учитель математики

МБОУ "Лицей №1 Брянского района"